この講義では0+1次元と1+1次元における場の量子論とその対称性の量子異常(量子アノマリー、’t Hooft anomaly)を扱う。特に、対称性の状態空間(ヒルベルト空間)への作用と量子異常の関係に焦点を当てたい。
講義の前半では0+1次元場の理論、つまり量子力学について、まず対称性を取り扱うための基本となるWignerの定理を紹介する。
Wignerの定理においては一般に量子力学の状態空間は対称性群の元で射影表現をなすが、この射影因子が量子力学系のダイナミクスを拘束する例を見る。また、量子力学における対称性の射影因子と1+1次元の対称性保護トポロジカル相の関係をみる。
後半では1+1次元の場の理論において、射影表現の類似物が場の量子論を線分上で境界条件付きで量子化することにより得られることを見て、U(1)の場合にこれが量子異常のよりconventionalな定義と一致することを見る。
時間が許せば1+1次元の$Z_2$対称性の量子異常の繰り込み群流れへの応用(CP1模型)を紹介したい。
講義ノートは https://kantohm11.github.io/symmetry_review/ において公開される。(現在準備中で、順次更新する。)