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私にスピンをわからせて! ~第6回転「電子以外のスピンって?」~陽子の巻(上)

物構研トピックス
2020年5月21日
わたしにスピンをわからせて!

北村 源次郎:野趣あふれる美猫。上田城で母と運命の出会いを果たし、北村家の猫となったことから、真田信繁の幼名をとって源次郎と名付けられた。
十八番は即興ピアノ曲「猫が踏んじゃった」。

シュレ子:第4回転から登場、ヨーロッパからやってきた謎の猫。どうやらシュレディンガー家から来たらしい。

母上:源次郎の母。文系だが、素粒子とスピンに興味がある。昆虫・植物が大好きで、KEK構内で撮った珍しい虫の写真を持ち歩く。
プロフィールはKEKのひと「山を旅して世界を知った 北村節子さん」に詳しい。
【KEKエッセイ #1】「天才はおもいがけなくやってくる」
【KEKエッセイ #7】「メンデレーエフの日本の孫」
【KEKエッセイ #15】「原爆投下。チャーチルは、ママの実家を頼った?」
【KEKエッセイ #24】偉大な博士の「最後のイチジクの葉」

前回までのお話

あらすじ
源次郎母上のスピンとは何かを知る旅に、猫の シュレ子も同行することになった。 様々な実験での原子のふるまいを説明するには、電子のスピンという概念が必要だと分かり始めた母上は、ついに指南役の村上先生からわたスピ基礎編卒業を認定された。 しかし、お祝いムードもつかの間、母上には次の疑問が沸き起こるのだった。

前回村上先生が言ってたニャ~。
「物構研で扱うスピンはほとんどが電子のスピン」だって。

「ぶっこうけん」って何?

あ、シュレ子ちゃんに教えてなかったね。KEKに2つある研究所のうちのひとつニャんだ。

へぇ、KEKの中に2つも研究所があるにゃんて。
「ぶっこうけん」って何の略?

「物質構造科学研究所」の略ニャ。

にゃ~るほど、分かった。
「物質」は原子でできている。原子は原子核と電子でできている。
原子核はなかなか壊れないにゃ。

放射性元素は崩壊するニャ。

まぁ、そうだけど、放射性元素はそんなに多くないし、原子核に対して一番外側にある電子は割と自由に動けるから、電子の動きが気になるというのは分かる気がするにゃ~。

なになに? 何が割と自由に動けるって?

あら、源ちゃんのお母さん。
電子のことを話してたにゃ。

今日はね、電子以外のスピンの話を聞くのよ。

じゃあ、物構研で扱うスピンとちょっと違うんじゃにゃいの?

そう。だから今日はKEKのもうひとつの研究所「素粒子原子核研究所」の先生を呼ぼうと思ってるニャ!

にゃんと!

でもきっと村上先生も来るニャ。

村上先生は、担任の先生みたいな感じかしらね。

担任:村上 洋一(むらかみ よういち)さん

愛媛県松山市出身。専門は、物性物理学。幼いころから磁石の不思議に魅せられて、かれこれ半世紀、今も磁石に関連した研究を続けている。
物構研に新設された量子ビーム連携研究センター(CIQuS)の専任教員。
【KEKエッセイ #10】「百万聞は一見に如かず~光を作る工場」
【KEKエッセイ #19】「相転移~景色が突然変わるとき」

第6回転「電子以外のスピンって?」~陽子の巻(上)

今回の指南役:
板倉 数記(いたくら かずのり)さん

千葉県松戸市出身の理論物理学者。2020年3月まで、KEK 素粒子物理学研究所 理論センターに所属、同年4月から長崎総合科学大学 教授。
高エネルギー重イオン衝突や高エネルギーのハドロン散乱などの極限的な状況の物理に興味を持って研究している。

板倉さん、よろしくお願いします。
今日は陽子のスピンを教えていただきに来ました。
こちらこそよろしくお願いします。
電子にスピンがあるということの経緯はガッテンしたところなんですが、陽子のスピンを調べようと思ったきっかけはなんでしょう?
電子にスピンがあったと聞くと、他の粒子にあるのかどうか調べたくなるという好奇心じゃないですかねぇ。
あ、なるほど。
必要に迫られて、ではなく、学術的興味の産物ということですね。
電子のスピンは数式で表すことができるんですね。その式が、例えば陽子に対しても使えるか、という興味もあったのだと思います。
電子で分かったことが一般化できるか調べたかったということね。
ラザフォードによって「陽子」という概念が提案されたのが1920年ごろ、スピンの概念が生まれる5年ほど前だった。
「1920年ごろ」というのはどうしてなの?
これが、諸説あるんですよ。
いずれにしても、陽子というのも目新しい存在だったのかもしれないね。
そうかもしれません。
陽子のスピンを調べるには何を使うといいのかニャ?
陽子のスピンの発見までにはたくさんの実験が行われるんですが、
ある共通の気体が活躍するんですよ。
気体ですか、何だろう???
う~ん…
じゃあ、ここでちょっと復習。
前回までの銀原子のシュテルン・ゲルラッハ実験では、なぜ銀を使ったんでしたっけ?
内側の電子の影響はすべて打ち消しあっていて、一番外側の電子1個のスピンだけが影響して原子が曲がったんでした。
つまりそういう原子を選んでいたということね。
そうそう。
今度は陽子を見たいから、電子の影響が見えないような材料で実験したいんですよね。
じゃあ、銀原子の電子が1つ少ない原子だったらいいのかニャ?
それなら、すべての電子が打ち消し合ってるって言ってたニャ。
でもそれだと中性子の影響は?
そうですね。原子番号の大きな原子だと話が複雑になるから、
ここは一番シンプルな元素で考えましょう。
水素にゃ。水素の原子核は陽子だけにゃもん。
水素原子
水素原子は電子も1つじゃない? 電子は2つ組じゃないと打ち消し合えないと思うけど…。
シュレ子ちゃん、正解。水素です。
だけど水素原子 Hを作ってもすぐに隣の水素とくっついて分子 H2になってしまう。
だから、初めから水素分子を使うんですよ。水素分子なら電子も2つになります。
なるほど、それなら電子スピンの影響は無視できるわね。
水素分子
水素分子は実際には陽子2つの周りに電子2つがあるようなかたちになっているんですよね。
この水素分子の絵は、物構研の「一家に1枚 水素ポスター」から借りてきたんだけど、ちゃんと距離を計算して描かれているそうだよ。
2つの原子がくっついちゃってるニャ。
このとき2つの原子は共有結合をしています。
共有結合は、化学で習ったわ。
不対電子同士が組になると強い結合を示す、と習ったよね。こんな記号で。
水素原子はそれぞれ電子軌道を持っているよね。
ところが、2つの水素原子が近づくと、それぞれの電子軌道が混ざり合って、新しい2つの軌道を作るんだ。
それらは「結合性軌道」と「反結合性軌道」と呼ばれている。
水素の分子軌道ダイアグラム
へぇ。
水素原子になったつもりで考えてみよう。
遠くにもうひとつの水素原子が見える。道は2通りあるよ。すべり台を滑り降りても、急な山を登っても相手に会える。平らな道はない。
どっちの道を使う?
私は登山が好きだけど、わざわざ登る理由もないからすべり台かな。
そうだね。一般にはエネルギーが低くなる方向の変化の方が起こりやすい。
エネルギーが低くて安定している軌道のときは、強く結合しているってことね。
電子はどこにいるか分からないけど、陽子同士は正電荷を持っているわよね。反発し合ったりしないの?
じゃあ、このグラフを見てみましょう。
横軸は陽子間の距離で、右に行くほどお互いに離れていることを表します。 縦軸は先ほどのグラフと同じでエネルギーです。上に行くほどエネルギーが大きい。
ピンクの線は結合性軌道の場合、緑の線は反結合性軌道の場合です。
水素のエネルギー
北村さんの質問は、陽子同士が近づいたときに反発し合わないか、ということでしたね。
まず緑色の線を見てみましょう。原子同士が十分離れているグラフの右端から緑の線をたどっていくと、陽子と陽子の反発力があるので、近づけば近づくほどエネルギーが大きくなる。
さっきみたいに山に例えたら、急な斜面を登っているようなものね。
そう。
じゃあ、ピンクの線を右端からたどったらどうだろう?
緩やかな斜面を下っているみたい。
結合性軌道の場合、それぞれが水素原子でいたときよりもエネルギーが低くなるんだ。
でも、ある距離 Re まで近づいたときに全体のエネルギーが最も小さくなるでしょう?
どうしてこんな凹みができるの?
電子が結合性軌道を形成するときには、近づけば近づくほど結合が強くなる一方で、陽子同士の反発力も大きくなるからなんだ。
2つの力が拮抗していて、Re が、反発力と結合力の釣り合う位置ということになるんだね。
それ以上近づくと反発力がどんどん大きくなってしまうんだ。
なるほど、その距離が、遠すぎず近すぎず、2つの力のバランスがとれている近さってことね。
こういう凹みのことを「ポテンシャルの井戸」って言うんだよ。
勢いで、井戸を飛び超えて Re より近づいてしまうことってないのかしら?
もし Re よりも近づくことができれば、2つの陽子が反応して核融合が起こってしまいます。
えっ?! 核融合!?
仮にそんなことが起これば、水素の原子核が変化してしまうんだけど、それには非常に高いエネルギーが必要なんだ。
例えば太陽の中のような極限的な状態で初めて可能になる現象なんですよ。
そっか、そのぐらいハードルが高ければ容易には起こらないわね。あーびっくりした。
そう。人工的に核融合を起こすことは非常に困難だということも分かりますよね。
ちなみに、電子が反結合性軌道をとるとき水素のイメージはこうなるよ。
水素の反結合性軌道
ふーん。2つの電子雲が避け合っている感じね。
孤立電子対が2つあるように見えるけど、これで一つの電子軌道なんだよ。
水素ガスを使った実験考察その1なのニャ
それで水素分子を使ってどんな実験をしたの?
1927年ころ、ドイツのフリードリッヒ・フントが、オランダ コペンハーゲン大学のボーア研究所にいて、陽子のスピンの存在を予測していた。
フントが着目したのは比熱なんです。
比熱?
比熱とは、
「物質の温度を1℃上げたり下げたりするときに、出入りするエネルギー」
で定義される、というのはいいですよね?
熱しにくく冷めにくい物質ほど、比熱が大きい、というやつね。
はい。陽子スピンに関係して登場するのは、水素ガス、つまり水素分子の集団に熱を与えて、どのくらい温度が上がるかを測る、という比熱の実験なんです。
え、それってちょっとアナログな印象。
どれどれ、と温度計を見て決めるような。
全くその通り。
でも実は比熱の測定は、量子力学発見の初期にも重要な役割を果たしたし、陽子スピンの発見においても同じく活躍したんですよ。
え~、どんなふうに? ちょっと想像つかないな。
詳しく教えてください。 
量子力学が生まれる前、19世紀には、ある条件のときに気体の状態を表す式が成り立つことが知られていたんです。
気体の状態と言うと?
体積とか温度とか?
そうそう。気体の体積と温度と圧力と量が満たす式で、気体の状態方程式と言います。
聞いたことあるわ。
状態を表す式だから状態方程式、なるほどね。
そういえば「ある条件のときに」って言ってましたよね?
現実の気体は一筋縄じゃいかなくてその式だけで表すことはできないけど、理想的な条件ならその式が成り立つ、と言ったらいいかな。
現実にはいろんなことがあるけど、大筋では合ってる式ってことかしら。
気体の体積と温度と圧力と、あと一つは、量でしたっけ?
はい。
mol(モル)って覚えてます?
えーっと…
母上、元素の周期表に書いてある質量は、1モルあたりの質量だって言ってたニャ。
もしかして、アボガドロさんじゃにゃい?
そうそう。原子や分子をアボガドロ定数個集めたものを1モルと言うんだね。
このモルって単位のおかげで、人間の手で扱えそうな温度とか体積とか圧力が、小さな小さな原子や分子と結び付けられたと言ってもいい。
ここから、小さな分子や原子の運動と、人が感じられる「温度」を結びつける壮大なお話をしますよ。
さっき私が「アナログ」といった量と、超デジタルな量子の話が結びつくのね。
じゃあ細かい方から行きましょう。
気体分子1つの質量が m、速度が v だとすると、運動エネルギーはどうなりますか?
質問が急ね。
えーっと、 1/2 mv2 かな。
そうですね。
実際には気体分子は別の分子にぶつかったり壁にぶつかったりしながら刻々と速度を変えているわけだけど、平均速度を考えましょう。
実は、簡単な力学の計算と、先ほどの気体の状態方程式を使うと、
気体分子の運動エネルギー1/2 mv2 の平均値
が、気体の温度に比例することが分かるんですよね。
えっ?なんで?
話をシンプルにするために、容器に閉じ込めた気体を考えますよ。つまり、気体の体積と量は一定です。
運動エネルギーが増えるということは、気体分子の平均速度が増すということですね。 気体は閉じ込められていますから、壁にたくさんぶつかると圧力が上がる。
気体の状態方程式は、圧力と体積を掛け合わせたものは温度に比例するという式なので、圧力が上がると温度が上がるということになるんです。
分かった。暑いときほど気体分子が速く動き回ってるということね。
そうです。例えば25℃のとき水素分子の平均速度はジェット機の8倍くらいと言われています。
へぇ!
そんなに速いの!
気体分子の運動エネルギーの平均値が、気体の温度に比例するという話は高校の物理の教科書にも書いてあるので、もっと詳しく知りたかったら勉強してみてくださいね。19世紀には既に発展していた気体分子運動論です。
気体の状態方程式が役に立つというのも分かりました。
さて、分子の運動エネルギーを全て足し合わせたものを、気体の「内部エネルギー」と呼びます。運動エネルギーの平均値が温度に比例するなら、これも温度に比例しますね?
はい。
先ほど、ある条件でだけ成り立つ状態方程式という話をしたんですが、いちいちそう言うのは面倒なので名前がついてます。 その条件を満たすような気体を「理想気体」と呼びます。
この横軸の「絶対温度」というのは?
熱力学で扱う温度は絶対温度といって、私たちが日常使う摂氏とは273.15℃ずれています。 例えば、25℃は298.15Kですね。
300℃近くずれてるのね。どうしてこんな温度を使うの?
摂氏というのは、18世紀の天文学者 アンダーシュ・セルシウスのことなんだけど、セルシウスは水の凝固点を温度の基準と考えた。
だけど19世紀に、分子の運動がすべて止まる温度、つまり絶対零度が計算できることが分かったんだ。
それが-273.15℃だった、ということね。
そう。絶対温度を提唱した物理学者ウィリアム・トムソンがケルヴィン卿と呼ばれていたので、単位をケルビン[K]とし、セルシウス温度の刻みはそのまま使って、273.15℃シフトしたということなんだ。
だから、当然だけど、上のグラフは原点を通っているよね。
温度の単位は人の名前に由来してるのが多いのねぇ。
では比熱に戻りましょう。
比熱は、気体の温度を1℃変化させるために出入りしたエネルギーでしたね。
温度が1℃変化するとき、内部エネルギーがどのくらい変化するかというのは、上のグラフで言うと?
傾き!
ということは、これは理想気体では定数になります。
え?定数?
どの気体でも同じなの?
理想気体の場合、分子がいくつの原子でできているか、で異なります。
気体の比熱は、体積を一定にした場合、圧力を一定にした場合など、いくつかありますが、さっきと同じように体積一定のときの1モルあたりの比熱「定積モル比熱」を考えてみましょうか。1モルの気体を容器に閉じ込めたまま1℃温度を上げるのに必要な熱量ということですね。
母上、高校の物理の教科書、借りてきたニャ。
おっ、源ちゃん、サンキュー。
どれどれ、1気圧の気体の定積モル比熱は、室温25℃で、
ヘリウム He 12.5 J/(mol・K)
アルゴン Ar 12.5 J/(mol・K)
水素 H2 20.4 J/(mol・K)
一酸化炭素 CO 20.8 J/(mol・K)
とあるわ。
分子がいくつの原子でできているか、って言ってたわね。
分子式を見たら原子の数が分かるにゃ。
そうね。
ヘリウム He とアルゴン Ar は、原子1個で、どちらも12.5、
水素 H2 と一酸化炭素 CO は原子2個で、20.4と20.8。
原子の数が大きいと比熱が大きいみたい。
この2つの違いはなんだろう?
そう思いますよねぇ。
ヘリウムやアルゴンのような単原子分子は縦横高さの3次元の重心移動しかない。
つまり、内部エネルギーとしては、さっき考えた運動エネルギー 1/2 mv2 の総和だけを考えればいい。 これはどんなに温度が上がっても変わりません。
ところが、多原子分子になると話が違ってきます。
多原子分子っていうのは、2つ以上の原子でできた分子ってことね。
そう。例えば水素や一酸化炭素のような二原子分子なら、重心移動に加えて分子が回転する。
原子の数というより、形の違いが問題ってこと?
単原子分子も自転はできるんじゃないのかしら?
それは形が変わったことにならないから、考えなくていいんです。
ふ~ん。
単原子分子に比べて、二原子分子は回転できる分だけ自由度が大きい、つまり動きの種類が増える、ということですよ。
自由度が大きいものの方が、与えられたエネルギーがあちこちの運動に分散されて、温度は上がりにくくなります。
エネルギー等分配の法則という考え方で、自由度が大きい気体はその分比熱も増えます。
確かに。丸い分子より、ダンベル型分子の方が、余分な動きをしそうだわ。
単原子分子は縦横高さで運動の自由度は3になります。
さて、二原子分子で増える回転の自由度はいくつでしょう?
理容室のサインポールみたいにくるくる回るのは、さっきの自転とおなじだから、入りませんね?
はい、入りません。
ダンベルの軸が自由自在に動くとして、軸の動きは何種類の角度があれば表現できますか?
じゃあ、えーっと、緯度と経度で2つ!
そうですね。
単原子分子の自由度3に対して、二原子分子の自由度は5。
つまり、単原子分子に比べて、二原子分子の比熱は5/3倍になるんです。
ちょっと計算してみる。電卓、電卓。
ヘリウム12.5と水素20.4でやってみよう。12.5/20.4=0.6127…
3/5=0.6
だいたい合ってる。
いまのは25℃での値でしたね。
実は、多原子分子の自由度は温度によって変わるんです。
へーっ!
絶対温度100K以下では単原子分子と同じ、ってことは回転しないの?
そうなんです。重心の運動エネルギーが連続的に変化するのに対して、回転のエネルギーはとびとびの値しか取れません。回転運動は量子力学の領域なのです。
つまり、全く回転していない状態から、回転している状態に行くには、ある有限の大きさの飛びがあって、その飛びよりも大きなエネルギーを獲得しないと回転できないんです。
水素分子の場合、0℃くらいになったときに、回転運動の自由度が比熱に効くようになります。
このグラフ、もっと上がありそう。
おっ、鋭いですね。実はもう一段階あるんです。
もっと高温になると今度は振動運動が有効な自由度として効いてきます。
ぶるぶるぶる、って震える振動?
寒いときに震えるイメージだけど、燃えるほど高温になると振動が効いてくるとは。
確かにそうですね。
ばねでつながれた2つのおもりを考えてください。
ばねの強さによって、振動のしやすさが変わりますね。堅いばねだと、ちょっと指でつっついてもびくともしませんが、弱いとすぐにぐにゃぐにゃ変化します。
ばねの違い、つまり分子の種類によって振動運動は異なるんです。
そして、この振動も、勝手なエネルギーを取ることが許されず、とびとびの値を取ります。
振動と言っても分子ごと震えるんじゃないのね。
原子間の距離が伸び縮みして形状自体がかわるような振動ですね。
なるほど。
極低温でも重心移動はできる。ある程度温度が上がると回転できるようになる。さらにさらに温度が上がると、今度は分子の形状を変えるような振動が起こる、というわけね。
20世紀になって原子のモデルが明らかになってくると、それまで考えられてきた気体分子の運動を、原子核と電子に分けて考えるようになりました。
また特に現実の気体は、低温では理想気体とはかけ離れた性質を示すことから、比熱が計算と合わない理由を探す研究が続けられていました。
理想と現実の差を埋めようと考えたのね。
そう。
というわけで、フントの時代には、水素分子がもつエネルギーは、
分子の重心移動の運動エネルギー、
分子の回転運動のエネルギー、
陽子間の振動運動のエネルギー、
電子のエネルギー、
そしてもしかしたらその他のエネルギーもあるんじゃないかと考えられていたわけです。
水素分子がもつ運動エネルギー
ふんふん、やっとフントさんに戻ってきました。
電子のエネルギーというのは運動エネルギーのこと?
いえ、水素分子の結合性軌道に入っている電子が持つ運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和です。
しかし、室温程度の低温では、電子のエネルギーも、ほとんど比熱に効いてこなくなることが分かっていました。
それはどうして?
結合性軌道から反結合性軌道までのエネルギー間隔が大きいので、ほぼ全ての電子が結合性軌道にあり、比熱への寄与はとても少ないからです。
そうか、振動のエネルギーも電子のエネルギーは冬眠中だ、と。ところが何かが動いている。それが何かを突き止めようとした、ということですね?
そうですね。低温なら影響するのは、重心運動と回転運動と、その他のエネルギーだけ。
重心運動のエネルギーは温度が分かれば計算で求められますから、低温で実験して回転のエネルギーに注目すれば陽子スピンの影響も見えてくるんじゃないかと、フントは予想したんです。
水素ガスを使った実験その2への助走なのニャ
回転のエネルギーか。
スピンは正確には自転じゃないというのを叩きこまれたつもりだけど、やっぱりスピンと回転とは切っても切れない関係みたいね。
叩きこまれたんですか。
水素分子の回転エネルギーは、とびとびの値を持つことが分かっていて、整数を使って計算することができました。それを図示したのがこのグラフです。ここで出てくる J は整数です。
水素分子の回転エネルギーは、J という数が大きくなると大きくなる、という意味かしら。
これは推論?それとも実験で確かめられていた?
回転に関する量子力学計算からよく分かっていましたし、実際に分光実験でも確かめられていました。
1924年にパウリが水素分子からのスペクトルを見て、陽子のスピンの存在を予想していたという記録が残っています。
パウリは実験はしないって聞いたから、他の人の実験結果を見て予想したのね。
おそらくそうでしょうね。
このようにとびとびの値を持つことを「量子化されている」と言い、そのときに使う例えば J のような整数を「量子数」と呼びます。
この場合は回転エネルギーに関係する量子数だから、回転量子数というんだね。
どうして J なの?
Jは量子力学で角運動量を表すときによく使う記号ですね。
あ、そうなんだ。何かの頭文字かと思ったので。
慣例的によく使う文字が決まっているんですよね。 初めて見る人には分かりにくいかもしれませんね。
ところで、そのころ物理学者たちは、粒子には
・電子のようにパウリの排他律に従うもの
・光子のようにパウリの排他律に従わないもの
の2種類があることを知っていました。
えっ!?
どうしました?
そんなこと、聞いてませんでした。パウリの排他律に従わないものがあるなんて。
私、パウリの排他律を苦労して理解したわ。それなのに…。
いや、前回説明が足りなかったかもしれないけど、パウリは電子について考えて排他律を見つけたわけで…
母上…

この後どうなったかはご想像にお任せします。
今回はここまでなのにゃ~。


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前回までのお話一覧

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